Кватерніони, октоніони або седеніони є гіперкомплексними числами, тобто «розширеннями комплексних чисел до багатовимірних просторів». Робота з фрактальними наборами на їх основі може бути для деяких дослідників втечею від повсякденної роботи в лабораторії. Про науку в Польщі розповідає проф. Андрій Катунін.
фрактали це математичні витвори, які представлені в графічній формі як дуже складні об’єкти зі специфічними характеристиками. Одним із них є самоподібність, яка означає, що фрактал, розглянутий на мікро- та макромасштабі, виглядає однаково. Класика цих збірок включає фон Коха, криві Пеано, Гільберта або Госпера, трикутники Серпінського (і килим), губка Менгера, набори Джулія, Фату і Мандельброта.
Остання робота проф. Катунін із Сілезького технологічного університету в Ґлівіце займається гіперасоційованими фракталами. “Термін “гіперкомплексні фрактали” відноситься до певного класу об’єктів, які побудовані в багатовимірних просторах. Префікс “гіпер” означає, що існує багато вимірів: чотири або більше”, – говорить проф. Катунін, популяризатор науки та ентузіаст математики, автор книги «Фрактали. Математичні монстри, які змінили сприйняття світу».
Такі фрактали можна отримати з т. зв рекурсивні формули, що простими словами означає багаторазове повторення однієї простої математичної операції.
«У такому випадку ми маємо справу набір Мандельброта– каже вчений із Сілезького технологічного університету. Бенуа Мандельброт був французьким математиком, який народився у Варшаві, який зробив революцію в науці про фрактали. Він працював у Національному центрі наукових досліджень у Парижі, а потім в Університеті Лілля. У 1957 році він працював у США в IBM, де мав доступ до сучасних комп’ютерів, отримав доступ до робіт двох французьких математиків, Гастона Джуліа та П’єра Фату, які десятиліттями раніше працювали над такими геометричними об’єктами, узагальнив їхню роботу та за допомогою комп’ютерів створив зображення, які називали фракталами. Юлія та Фату були забуті, розглядалися як математична цікавинка, тоді як Мандельброт повернувся до цього та узагальнив усе це у своїй колекції», – нагадав професор Катунін.
«Мандельброт також визначив напрямки для конкретних застосувань для фракталів», – додав учений. Він додав, що сьогодні фрактали використовуються практично в усіх галузях науки – економіці, хімії, механіці, фізиці, астрономії тощо. Фрактальні моделі та методи використовуються в психології, лінгвістиці, музикознавстві та інших галузях. На практиці фрактали допомагають, напр. робити прогнози та отримувати конкретні властивості матеріалу. Фрактальний аналіз ринкових коливань, який використовується в економіці та фінансах, сьогодні вважається класичним інструментом, що дозволяє з високою ймовірністю передбачити крах на фінансових ринках або волатильність валютних курсів. У біології та медицині фрактали допомагають зрозуміти будову та роботу багатьох систем і структур, наприклад, нервової системи, легенів або кісткової тканини. Завдяки властивостям фракталів вони набувають додаткових властивостей, наприклад, жорсткості та легкості одночасно.
Гіперкомплексні фрактали, до яких відноситься вищезгадана остання робота проф. Катуніна, є подальшими узагальненнями основних множин Жюлія та Мандельброта.
«Множина Мандельброта визначається комплексними числами. Комплексне число є двовимірним – воно має дійсну та уявну частини, це знання середньої школи. Узагальнюючи ці множини, можна отримати дуже цікаві форми та властивості», – каже він.
Як приклад іншого узагальнення комплексних чисел проф. – згадує Катунін кватерніони – чотиривимірні гіперкомплексні числа. Їх відкрив ірландський математик Вільям Гамільтон, який жив у 19 столітті.
«Гамільтон шукав так звані комплексні трійки; він намагався перейти від двовимірних комплексних чисел до тривимірних. Це йому було потрібно для конкретних фізичних додатків, для опису певних проблем механіки. Він так довго працював над цим. що це стало ритуалом. Кожного дня, коли він приходив снідати і бачив свою родину, діти запитували його: «Тату, ти вже вмієш множити складні 3?» Він відповів: “На жаль, ні. Поки що просто додайте”. Це зайняло багато років”, – сказав проф. Катуніна. – «Йому не вдалося розробити складні трійки. Однак він розробив кватерніони, які зараз мають широкий спектр застосувань, починаючи від механіки чи динаміки в робототехніці – до таких питань, як математичний опис руху небесних тіл, управління космічними кораблями. і т. д. Кватерніони мають реальне, фізичне застосування. Так само алгоритми візуалізації в комп’ютерних іграх, у віртуальній реальності – також засновані на кватерніонах».
“Всередині кватерніонів також можуть бути визначені фрактальні множини, тобто де-факто узагальнення базової множини Мандельброта до чотирьох вимірів. Це було зроблено на рубежі 1980-х і 1990-х років – тоді були описані перші структури в цій галузі, хоча робота над ними триває й донині», – нагадав професор. І він додав, що у випадку цих багатовимірних алгебр основні математичні операції перестають працювати. «Чим вища розмірність даної алгебри – тим гірше з цими операціями. Для нас очевидно, що множення двох ненульових чисел також призведе до ненульового числа. У випадку гіперкомплексних чисел це не так. обов’язково так. Помноживши ненульове гіперкомплексне число на ненульове гіперкомплексне число, ми можемо отримати нуль. Чим вище ми піднімаємося, тим дивнішими є ці властивості», – описав він.
проф. Катунін, який професійно займається, серед ін. Цікавиться математичними аспектами втоми та розтріскування композиційних матеріалів, неруйнівним контролем матеріалів та методами ідентифікації пошкоджень, гіперкомпозитними фракталами. «Я підходжу до цього як до плацдарму, тому що проблеми, над якими я працюю щодня, дуже інженерні, відчутні. Наука, яку я розвиваю в лабораторії, значною мірою базується на спостереженні явищ і підтвердженні їх. Теорія тісно пов’язана з явищами, що спостерігаються. У випадку гіперкомплексних фракталів важко знайти конкретні фізичні застосування. Хоча вони існують, вони надзвичайно складні з теоретичної точки зору. Для деяких вчених, у тому числі для мене, проста операція з гіперкомплексними числами – побудова та вивчення гіперкомплексних фрактали – приносить веселощі“.
Згадані, хоча й досі не надто численні, застосування гіперкомплексних чисел стосуються опису електромагнітного поля, питань квантової механіки, геномного аналізу ДНК, – додав він. “Кватерніони або октоніони використовуються скрізь (ще одне узагальнення, з яким має справу восьмивимірна гіперкомплексна алгебра). Вони також використовуються у фізиці елементарних частинок і як підтримка так званої фрактальної теорії Всесвіту – певної паралельної теорії, яка розробляється на противагу загальноприйнятим теоріям Всесвіту – теорії великого вибуху та теорії інфляції – щоб пояснити, як він виник і як працює».
Розмовляла Анна Шльонзак, Science in Poland
zan/бар/
